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                    Olá pessoal!
Somos Anderson Lucas e Mariana e iremos apresentar por meio
desses slides a aula de hoje sobre trigonometria 2.

Trigonometria 2

O que vamos aprender nessa aula?
 Área de um triângulo qualquer
 Área de um triângulo equilátero
 Área de um triângulo isósceles

 Área de um triângulo escaleno
 Lei das áreas e sua demonstração
 Equações trigonométricas fundamentais

 Círculo trigonométrico
 As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da Tangente

Antes de começarmos
 Observe que deixamos alguns links com vídeos online que devem ser vistos para
o melhor entendimento da matéria.
 Também separamos alguns exercícios, além dos que estão contidos nessas
apresentações, que estarão disponíveis em PDF.
 Qualquer dúvidas que tiverem, estaremos disponíveis para tirá-las. Contem
conosco.

BONS ESTUDOS!

Área de um triângulo qualquer

Fórmula Geral
Existem várias maneiras de calcular a área de um triângulo, nessa aula vamos mostrar as principais delas.

Uma forma muito comum de encontrar
a área de um triângulo é usando a base
e a altura do triângulo. Ou seja:

Fórmula Geral
Essa fórmula pode ser encontrada através da fórmula da área de um retângulo.

Ao traçarmos a diagonal de um retângulo achamos dois triângulos iguais. Para encontrar a área destes
triângulos basta dividir a área do retângulo em duas partes iguais. Ou seja:

Área dos Triângulos: área do retângulo
2

Fórmula Geral
Contudo, só podemos utilizar a fórmula anterior se possuirmos a altura do triângulo. Se não tivermos a
altura, mas se possuirmos todos os lados do triângulo podemos utilizar uma outra maneira para encontrar a
área. Podemos usar a fórmula de Heron.
Dessa forma, temos:

Onde:
a, b e c são os lados do triângulo.
p é o valor do semiperímetro (soma de todos os lados do triângulo dividido por dois)

Área do triângulo equilátero:
O triângulo equilátero é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos iguais.
Como todos os lados do triângulo equilátero são iguais, se tivermos um lado,
na verdade temos os três, então podemos usar a fórmula de Heron, do slide
anterior, para calcular a área desse triângulo.
Entretanto, se não quisermos usar a fórmula de Heron, existe outra maneira para
calcular a área de um triângulo equilátero. Podemos dividir o triângulo equilátero
em dois triângulos retângulos (como na imagem ao lado) e calcular a altura pelo
teorema de pitágoras para usar a fórmula geral. Dessa maneira, temos:

Substituindo o valor de h na fórmula geral, temos:

Área do triângulo isósceles
O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados e dois ângulos internos iguais.
No exemplo ao lado, já que possuímos todos os lados do triângulo, também
poderíamos usar a fórmula de Heron para calcular a área, mas se quisermos usar
a fórmula geral, podemos dividir o triângulo isósceles em dois triângulos
retângulos, como no exemplo do slide anterior, e usar o Teorema de Pitágoras
para descobrir a altura.

Substituindo os dados na fórmula geral, temos:

Área do triângulo escaleno
O triângulo escaleno é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

Para calcular a área do triângulo, usamos ou a fórmula geral, se tivermos a altura e a base, ou usamos a
fórmula de Heron se tivermos todos os lados.
Entretanto, existe uma outra maneira para calcular a área não só do triângulo escaleno mas também de
qualquer triângulo. Veremos essa forma nos próximos slides.

Lei das Áreas
Uma forma bem comum para obter a área de um triângulo é usando a Lei das Áreas.
Se conhecermos dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, podemos usar a trigonometria para
calcular a área desse triângulo.

Demonstração da Lei das Áreas

Área de um triângulo qualquer:

Para um melhor entendimento do assunto separamos uma aula online:
Link da aula: https://www.youtube.com/watch?v=9dCrIEpRYOY

Equações Trigonométricas
Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma igualdade.
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, é
preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.
sen x = cos 2x
sen 2x – cos 4x = 0
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0
São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função trigonométrica.

x2 + sen 30° . (x + 1) = 15
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a
incógnita não pertence à função trigonométrica.

Equações Trigonométricas Fundamentais
sen(x) = sen(a)

Fórmulas:
1- a + 2kπ
ou
2- (π-a) + 2kπ
Conjunto solução

S = {x∈R | x = a + 2kπ ou x = (π-a) + 2kπ, k∈Z}
OBS: Sempre precisamos usar as duas fórmulas no conjunto solução.

Equações Trigonométricas Fundamentais
Exemplo para o Seno:
senx = sen(π/5)
Substituindo nas fórmulas, temos:
x = π/5 + 2kπ, k∈Z
ou
x = (π – π/5) + 2kπ = 4π/5 + 2kπ, k∈Z

Conjunto solução:
S = {x∈R | x = π/5 + 2kπ ou x = 4π/5 + 2kπ, k∈Z}

Equações Trigonométricas Fundamentais
cos(x) = cos(a)
Fórmulas:
1- a+2kπ
ou
2- -a + 2kπ
Conjunto solução:
S = {x∈R | x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ, k∈Z}

Equações Trigonométricas Fundamentais
Exemplo para o Cosseno
cosx = cos(π/3)
Substituindo nas fórmulas, temos:
x = π/3 + 2kπ, k∈Z
ou
x = -π/3 + 2kπ, k∈Z

Conjunto solução:
S = {x∈R | x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ, k∈Z}

Equações Trigonométricas Fundamentais

tg(x) = tg(a)

Fórmulas:
1- a+2kπ
ou
2- (a+π) + 2kπ
Conjunto solução:

S = {x∈R | x = a + 2kπ ou x = (a+π) + 2kπ, k∈Z}

Equações Trigonométricas Fundamentais
Exemplo para a Tangente
tgx = 1
Como já se sabe, tg(π/4) = 1.
Temos:
x = π/4 + 2kπ, k∈Z
ou
x = (π/4+π) + 2kπ = 5π/4 + 2kπ, k∈Z

Conjunto solução:
S = {x∈R | x = π/4 + 2kπ ou x = 5π/4 + 2kπ, k∈Z}

Equações Trigonométricas
Nessa aula falamos um pouco só sobre as Equações Trigonométricas fundamentais, contudo, o assunto
é bem mais vasto. Por esse motivo, separamos algumas aulas online para o melhor entendimento do
assunto. Nesse material disponibilizamos apenas o conteúdo básico, entretanto os vestibulares exigem
um conhecimento mais aprofundado do assunto, por isso esperamos que você dedique alguns minutos
do seu dia para visualizar as aulas.

Links para as aulas: https://www.youtube.com/watch?v=-LFDt4m4TpI&t=713s
https://www.youtube.com/watch?v=VVLAULiSSYM&t=375s
https://www.youtube.com/watch?v=IOF3GUbuLdc

Círculo trigonométrico
O que é o círculo trigonométrico?

Círculo trigonométrico

 O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1
usada para representar números reais relacionados
a
ângulos.
Sendo
assim,
cada
ponto
dessa circunferência está relacionado a um número real,
que, por sua vez, representa um ângulo. Assim, é
possível representar também valores de seno e cosseno.

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada

O centro desse círculo está sobre o ponto F =
(0,0) do plano cartesiano e, como o raio dele é
1, podemos calcular seu comprimento da
seguinte maneira:
C = 2·π·r
C = 2·π·1

C = 2·π
*r é o raio*

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada
A ideia de volta está presente nos círculos trigonométricos.
Como o comprimento da circunferência é 2·π, podemos dizer
que uma volta completa nesses círculos tem essa medida.
Repare apenas que o ângulo formado por essa volta mede
360°. Dessa maneira, o número 2·π relaciona-se com o ângulo
360°.
Assumindo que essas voltas sejam feitas no
sentido anti-horário, vamos calcular o valor
numérico e o ângulo correspondente à meia-volta:

C/2 = (2·π)/2 = π
Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meiavolta é 180°, pois é metade de 360°.

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada

Qualquer número real pode ser representado em um
círculo trigonométrico. O comum, entretanto, é usar os
números que vão de 0 a 2·π e os ângulos referentes a
esse intervalo. A figura a seguir mostra a localização
dos pontos correspondentes aos ângulos 0°, 90°, 180°,
270° e 360° e os números reais, em função de π,
relacionados.

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada
Os ângulos presentes na figura ao lado marcam
posições muito importantes no círculo trigonométrico
chamados de quadrantes. Eles são definidos no
sentido anti-horário.
Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado
um intervalo de números reais em função de π em que
cada valor está relacionado a um ângulo.
Quadrante I: contém os números reais que vão de 0
até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°.

Quadrante II: contém os números reais que vão de
π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°.
Quadrante III: contém os números reais que vão de π
até 3π/2 e os ângulos entre 180° e 270°.
Quadrante VI: contém os números reais que vão de
3π/2 até 2π e os ângulos entre 270° e 360°.

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada
No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores
de seno e de cosseno de um ângulo θ qualquer. Para tanto, é
necessário construir esse ângulo no círculo trigonométrico,
como foi feito na imagem ao lado.
Note que, tomando os segmentos BC e AB, paralelos a AD e
DC, respectivamente, temos um retângulo. Podemos notar
que a medida do lado CD = b1 é igual ao senθ, pois:
Senθ = CD/AC = b1/1 = b1

A medida do segmento AD = a é igual ao Cosθ, pois:

Cosθ = AD/AC = a/1 = a
*A medida do segmento AC é 1 porque AC é o raio da
circunferência. Essa medida é a altura do retângulo.*

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada
A medida do segmento AD = a é igual ao cosθ, pois:
cosθ = AD/AC = a/1 = a

Sendo assim, no círculo trigonométrico, as medidas de seno e
cosseno de θ são iguais às medidas do cateto oposto e
adjacente a esse ângulo.
Podemos calcular agora os valores mais importantes para seno
e cosseno. Observe no círculo trigonométrico que:

•

Quando θ = 0°, senθ = 0 e cosθ = 1.

•

Quando θ = 90°, senθ = 1 e cosθ = 0.

•

Quando θ = 180°, senθ = 0 e cosθ = – 1.

•

Quando θ = 270°, senθ = – 1 e cosθ = 0.

•

Quando θ = 360°, senθ e cosθ possuem os mesmos valores
do caso em que θ é igual a 0°.

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada
A imagem ao lado representa o eixo das tangentes.

Note que o eixo das tangentes
trigonométrico, daí o seu nome.

tangencia

o

círculo

Note também que o ponto P tem o raio do círculo trigonométrico
prolongado até atingir o eixo das tangentes a fim de determinar o
valor da mesma. Além disso, repare que quando for 90° o
prolongamento do raio não atingirá o eixo das tangentes, logo
não existe a tangente de 90°.

Círculo trigonométrico – Abordagem simplificada
Nesse sentido, podemos saber os quadrantes nos quais o seno e o cosseno são positivos ou negativos. Observe
a figura a seguir:

Exercícios
1) As rodas de um automóvel têm 70cm de
diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas
pela roda sabendo que ele percorreu 9.891km.
Adote 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒.

Resposta: 4.500.000 voltas

2) Obtenha as menores determinações não
negativas dos arcos e a quantidade de suas
respectivas voltas. As menores determinações não
negativas são os ângulos encontrados nos restos
percorridos da quantidade de voltas.
a) 1300°
b) 1440°
c) -1200°

↑
DICA: converta os valores de cm e km para metros.
DICA: Sabe-se que uma volta completa no círculo
trigonométrico equivale a 2π ou 360°
→

Respostas:
a) 220°, 3 voltas
b) 0°, 4 voltas
c) 240°, 3 voltas (no sentido negativo)

Círculo trigonométrico

Para um melhor entendimento do assunto separamos uma aula online:

Link da aula: https://www.youtube.com/watch?v=kajpnOPk9n8

As Razões Inversas do Seno,
Cosseno e da Tangente
Quais são elas?

As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da Tangente

Secante, cossecante e cotangente são as razões inversas as razões trigonométricas já conhecidas como cosseno,
seno e tangente, respectivamente, e podem ser obtidas no ciclo trigonométrico. O conhecimento das razões
trigonométricas e de suas inversas auxiliará nos estudos ligados às relações fundamentais entre as funções de um
mesmo arco.

Cossecante

Definimos como cossecante a relação que admite ser o
inverso do seno, onde:

Relembrando!

cossecX = hipotenusa/cateto oposto ou cossecX =
1/senX

Como já visto anteriormente, as razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente estão
associadas ao triângulo retângulo e às relações entre
os catetos e a hipotenusa. Essas relações são
constituídas de acordo com as seguintes razões:

Sendo senX ≠ 0

senX = cateto oposto/hipotenusa

cosX = cateto adjacente/hipotenusa
CUIDADO!
Como pode-se verificar, essa inversa possui em seu nome o início
parecido com o do cosseno, porém não existe relação, visto que a
COSSECANTE representa o inverso do SENO.

tangX = cateto oposto/cateto adjacente

Secante

Definimos como secante a relação que admite ser o
inverso do seno, onde:

secX = hipotenusa/cateto adjacente ou secX = 1/cosX

Relembrando!
Como já visto anteriormente, as razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente estão
associadas ao triângulo retângulo e às relações entre
os catetos e a hipotenusa. Essas relações são
constituídas de acordo com as seguintes razões:

Sendo cosX ≠ 0
senX = cateto oposto/hipotenusa

cosX = cateto adjacente/hipotenusa
CUIDADO!
Como pode-se verificar, essa inversa possui em seu nome o início
parecido com o do seno, porém não existe relação, visto que a SECANTE
representa o inverso do COSSENO.

tangX = cateto oposto/cateto adjacente

Cotangente

Definimos como cotangente a relação que admite ser o
inverso do seno, onde:

cotgX = cosX/senX ou cotgX = 1/tgX

Relembrando!
Como já visto anteriormente, as razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente estão
associadas ao triângulo retângulo e às relações
entre os catetos e a hipotenusa. Essas relações são
constituídas de acordo com as seguintes razões:

Sendo senX ≠ 0
senX = cateto oposto/hipotenusa
Sabendo que cotgX = 1/tgX → cotgX = 1/(senX/cosX) → cotgX = cosX/senX

cosX = cateto adjacente/hipotenusa

tgX = cateto oposto/cateto adjacente

Exercícios
1) Observando a figura e relembrando o assunto dado,
responda:
a) Quanto é a cossecante do ângulo referente à B?

b) Quanto é a secante do ângulo referente à C?
c)

Quanto é a cotangente do ângulo referente à A?

Respostas:
a) 1.25

b) 1.66
c) 1.33

As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da Tangente

Para um melhor entendimento do assunto separamos uma aula online:

Link da aula: https://www.youtube.com/watch?v=Q3GU5qWQUT0