Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Centro de Tecnologia – CTEC

Departamento de Engenharia Estrutural – EES

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC

Disciplina: Instabilidade das Estruturas (EES-104)

Professor: Eduardo Nobre Lages (enl@ctec.ufal.br)

Assunto: Efeito do Cisalhamento na Carga Crítica da Viga de Timoshenko

Data: 24/11/2004

CINEMÁTICA

Para a viga de Timoshenko são assumidas as seguintes hipóteses cinemáticas:

• A seção transversal plana permanece plana após a deformação da viga, mas não mais perpendicular à direção local do eixo deformado;
• Não se considera variação na altura da seção transversal durante o processo de deformação da viga;
• O eixo horizontal do sistema de referência da viga intercepta os centróides das seções transversais;
• O plano do sistema de referência XY intercepta as seções transversais ao longo da viga em eixos principais de inércia.

Figura 1 – Cinemática da viga de Timoshenko.

As coordenadas finais dos pontos materiais são determinadas compondo-se as seguintes transformações geométricas:

• Translação da seção para o eixo Y;
• Cisalhamento em X da seção;
• Rotação da seção;
• Translação da seção para a posição final.

Essa composição de transformações geométricas, em coordenadas homogêneas, é representada matematicamente pela seguinte operação matricial:

que expandindo conduz a

Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas variáveis e , e retendo apenas os termos lineares, tem-se

o que permite representar o campo de deslocamentos de um ponto qualquer pelas seguintes expressões:

onde os campos , e são funções da coordenada axial .

DEFORMAÇÕES

A seguir, estudam-se as deformações linear e angular a partir das expressões gerais das deformações não lineares de Green-Lagrange, dada por

Para o modelo em questão, tem-se que

representando, respectivamente, as deformações linear e angular de um ponto qualquer da viga.

Diante das simplificações anteriores, verifica-se que a deformação linear apresenta a não linearidade com o deslocamento transversal, assim como a deformação angular foi admitida linear.

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Admitindo-se um comportamento elástico linear para o material da viga, a energia interna de deformação é dada por

cuja integração no volume pode ser desmembrada em uma integração ao longo da seção transversal e ao longo do comprimento da barra, ou seja,

Como o eixo X foi admitido passando pelo centróide da seção transversal, a integração na área leva a

onde a área considerada na última parcela sofre uma correção para consideração da real distribuição não linear das tensões de cisalhamento ao longo da altura da seção transversal.

ENERGIA POTENCIAL TOTAL

Como exemplo ilustrativo, estuda-se a viga engastada e livre esquematiza na figura abaixo.

Figura 2 – Condições de vinculação e carregamento da viga.

Sob essas condições de vinculação e carregamento, a energia potencial total é dada por

que incorporando o potencial das cargas externas na forma integral leva a

TRAJETÓRIA FUNDAMENTAL E CONFIGURAÇÃO ADJACENTE

Para o problema em questão, a trajetória fundamental é caracterizada pelo seguinte campo de deslocamentos:

Admitindo-se uma configuração adjacente, essa é definida por

Para a configuração adjacente, a energia potencial total é dada por

que pode ser entendida como a soma das parcelas

EQUAÇÃO VARIACIONAL DOS MODOS DE INSTABILIDADE

A determinação de configurações adjacentes de equilíbrio é feita estudando-se a seguinte condição de estacionariedade:

que leva a

De posse da condição de estacionariedade, são estabelecidas as três equações diferenciais de equilíbrio do problema, que são as equações de Euler-Lagrange do problema variacional, a saber:

Essas equações estão sujeitas às seguintes condições de contorno, definidas quando observadas as condições de vínculo do problema:

Integrando-se a segunda equação de equilíbrio e combinado-se com a quinta condição de contorno, tem-se que

Explicitando-se da equação anterior e substituindo-se na terceira equação de equilíbrio, tem-se a seguinte equação diferencial linear de 2ª ordem homogênea com coeficientes constantes:

Para que se tenha solução não trivial, omitindo-se aqui o estudo para o coeficiente da função nulo e negativo, a solução geral da equação diferencial se apresenta na forma

onde o parâmetro é dado por

A consideração da terceira condição de contorno leva ao valor nulo da constante . A sexta condição de contorno conduz a

Para que o problema admita uma solução não trivial força-se que

que admite solução fazendo-se

A carga crítica ocorre para n=1, que após algumas manipulações algébricas é dada por

onde

corresponde à carga crítica de Euler.