Universidade Federal de Alagoas – UFAL

Centro de Tecnologia – CTEC

Departamento de Engenharia Estrutural – EES

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC

Disciplina: Instabilidade das Estruturas (EES-104)

Professor: Eduardo Nobre Lages (enl@ctec.ufal.br)

Assunto: Carga Crítica de Euler

Data: 07/10/2003

CINEMÁTICA

Na teoria de Euler-Bernoulli de vigas são assumidas as seguintes hipóteses cinemáticas:

• A seção transversal plana permanece plana após a deformação da viga, além de perpendicular à direção local do eixo deformado;
• Não se considera variação na altura da seção transversal durante o processo de deformação da viga;
• O eixo horizontal do sistema de referência da viga intercepta os centróides das seções transversais;
• O plano do sistema de referência XY intercepta as seções transversais ao longo da viga em eixos principais de inércia.

Figura 1 – Cinemática da viga de Euler-Bernoulli.

As coordenadas finais dos pontos materiais são determinadas compondo-se as seguintes transformações geométricas:

• Translação da seção para o eixo Y;
• Rotação da seção;
• Translação da seção para a posição final.

Essa composição de transformações geométricas, em coordenadas homogêneas, é representada matematicamente pela seguinte operação matricial:

que expandindo conduz a

Fazendo-se uma expansão em série de Taylor na variável , que por ser considerada pequena se confunde com , e retendo apenas os termos lineares, tem-se

o que permite representar o campo de deslocamentos de um ponto qualquer pelas seguintes expressões:

onde os campos e são funções da coordenada axial .

DEFORMAÇÕES

A seguir, estuda-se a deformação linear a partir das expressões gerais das deformações não lineares de Green-Lagrange, dada por

Para o modelo em questão, tem-se que

representando a deformação linear de um ponto qualquer da viga.

Diante da simplificação anterior, verifica-se que a deformação linear apresenta a não linearidade com o deslocamento transversal.

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Admitindo-se um comportamento elástico linear para o material da viga, a energia interna de deformação é dada por

cuja integração no volume pode ser desmembrada em uma integração ao longo da seção transversal e ao longo do comprimento da barra, ou seja,

Como o eixo X foi admitido passando pelo centróide da seção transversal, a integração na área leva a

ENERGIA POTENCIAL TOTAL

Como exemplo ilustrativo, estuda-se a viga engastada e livre esquematiza na figura abaixo.

Figura 2 – Condições de vinculação e carregamento da viga.

Sob essas condições de vinculação e carregamento, a energia potencial total é dada por

que incorporando o potencial das cargas externas na forma integral leva a

TRAJETÓRIA FUNDAMENTAL E CONFIGURAÇÃO ADJACENTE

Para o problema em questão, a trajetória fundamental é caracterizada pelo seguinte campo de deslocamentos:

Admitindo-se uma configuração adjacente, essa é definida por

Para a configuração adjacente, a energia potencial total é dada por

que pode ser entendida como a soma das parcelas

EQUAÇÃO VARIACIONAL DOS MODOS DE INSTABILIDADE

A determinação de configurações adjacentes de equilíbrio é feita estudando-se a seguinte condição de estacionariedade:

que leva a

De posse da condição de estacionariedade, são estabelecidas as duas equações diferenciais de equilíbrio do problema, que são as equações de Euler-Lagrange do problema variacional, a saber:

Essas equações estão sujeitas às seguintes condições de contorno, definidas quando observadas as condições de vínculo do problema:

Integrando-se uma vez a segunda equação diferencial e combinando-se com a quinta condição de contorno, tem-se

que admite como solução geral

onde o parâmetro é dado por

A consideração da terceira condição de contorno leva ao valor nulo da constante , enquanto que a sexta condição de contorno conduz a

Para que o problema admita uma solução não trivial força-se que

que admite solução fazendo-se

A carga crítica ocorre para n=1, que após algumas manipulações algébricas é dada por

Introduzindo a segundo condição de contorno, verifica-se que o deslocamento transversal do modo de flambagem assume o formato

.